（Ⅰ）验证函数y（x）=（一∞＜x＜+∞）满足微分方程y"+y’+y=ex; （Ⅱ）求幂级数y（x）=的和函数。

admin2017-12-29 78

问题（Ⅰ）验证函数y（x）=

（一∞＜x＜+∞）满足微分方程y"+y’+y=e^x;
（Ⅱ）求幂级数y（x）=

的和函数。

选项

答案（Ⅰ）因为幂级数 [*] 的收敛域是（一∞＜x＜+∞），因而可在（一∞＜x＜+∞）上逐项求导数，得 [*] （Ⅱ）与y"+y’+y=e^x对应的齐次微分方程为y"+y’+y=0，其特征方程为λ²+λ+1=0，特征根为λ_1，2=[*] 因此齐次微分方程的通解为 [*] 设非齐次微分方程的特解为y^*=Ae^x，将y^*代入方程y"+y’+y=e^x可得 [*] 因此，方程通解为 [*] 当x=0时，有 [*]

解析

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