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设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。
设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。
admin
2021-01-19
60
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
一x
2
2
+ax
3
2
+2x
1
x
2
—8x
1
x
3
+2x
2
x
3
在正交变换x=Qy下的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
，求a的值及正交矩阵Q。
选项
答案
二次型f的矩阵A=[*]。因为其标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
，所以｜A｜=[*]=3(2－a)=0。 解得a=2。 再由 ｜λE一A｜=[*]=λ(λ+3)(λ一6)=0 解得λ
1
=6，λ
2
=一3，λ
3
=0。 当λ=6时，6E－A=[*]，对应的一个特征向量为(一1，0，1)
T
； 当λ=一3时，一3E一A=[*]，对应的一个特征向量为(1，一1，1)
T
； 当λ=0时，0E—A=[*]，对应的一个特征向量为(1，2，1)
T
。 由于上述三个特征向量已经正交，故将其直接单位化，可得 [*]
解析
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0
考研数学二
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