2. 考研
  3. 设g(x)可导，｜g’(x)｜＜1,且当a≤x≤b时，a＜g(x)＜b,又x+g(x)－2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明： 唯一的ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=ξ.

设g(x)可导，｜g’(x)｜＜1,且当a≤x≤b时，a＜g(x)＜b,又x+g(x)－2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明： 唯一的ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=ξ.

admin2022-03-23  59
问题 设g(x)可导，｜g’(x)｜＜1,且当a≤x≤b时，a＜g(x)＜b,又x+g(x)－2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明：
唯一的ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=ξ.
选项
答案由x+g(x)－2f(x)=0,有f(x)=[*][x+g(x)] 令F(x)=f(x)－x=[*][g(x)－x] 则F(a)=[*][g(a)－a]＞0，F(b)=[*][g(b)－b]＜0 由零点定理可知，[*]ξ∈(a,b)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=ξ. 又F’(x)=f’(x)－1,方程x+g(x)－2f(x)=0 两边对x求导数，有 1+g’(x)－2f’(x)=0，即f’(x)=[*][1+g’(x)] 由－1＜g’(x)＜1，则 0＜f’(x)＜1 ① 知F’(x)＜0，F(x)单调减少，故ξ唯一。
解析
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考研数学三

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