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  3. 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体放在20℃的恒温介质中冷却，30 min后该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体放在20℃的恒温介质中冷却，30 min后该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?

admin2022-09-22  46
问题 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体放在20℃的恒温介质中冷却，30 min后该物体温度降至30℃，若要将该物体的温度继续降至21℃，还需冷却多长时间?
选项
答案设t(单位：h)时刻该物体温度为x(t)，比例常数为k(k＞0)，介质温度为m，则 dx／dt=-k(x-m)． 解上述微分方程，可得x(t)=Ce-kt+m． 由题设条件知x(0)=120，m=20，可得C=100，则x(t)=100e-kt+20． 又x(1／2)=30,可得k=2 ln 10，则x(t)=[*]+20． 当x=21时，t=1．因此要降至21℃，还需要冷却30 min．
解析
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考研数学二

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