设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，求证：β，β+α1，…，β+αt线性无关．

admin2017-11-13 53

问题设向量组α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，求证：β，β+α₁，…，β+α_t线性无关．

选项

答案设有一组数k₀，k₁，…，k_t，使得 k₀β+k₁(β+α₁)+…+k_t(β+α_t)=0，即 (k₀+k₁+…+k_t)β+k₁α₁+…+k_tα_t=0， (*) 用矩阵A左乘上式两端，得 (k₀+k₁+…+k_t)Aβ=0，因Aβ≠0，得k₀+k₁+…+k_t=0，代入(*)式，得 k₁α₁+…+k_tα_t=0，因基础解系α₁)+…+k_t线性无关，得k₁=…=k_t=0，代入k₀+k₁+…+k_t=0，得k₀=0，所以，向量组β，β+α₁，…，β+α_t线性无关．

解析

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考研数学一

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设向量组α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，求证：β，β+α1，…，β+αt线性无关．

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