设A，B为同阶方阵，当A，B均为实对称矩阵时，试证：15题的逆命题成立．

admin2017-06-14 49

问题设A，B为同阶方阵，
当A，B均为实对称矩阵时，试证：15题的逆命题成立．

选项

答案由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ₁，λ₂，…，λ_n，则有 [*] 即存在可逆矩阵P，Q，使 [*] 于是(PQ^－1)^－1A(PQ^－1)=B．故A，B为相似矩阵．

解析两矩阵相似则特征多项式相同，反之则不成立．这种类似的反问题或逆问题的命题，若不成立，在平时学习时就应当有意识地积累相关的反例．
(2)在构造反例时应注意思路．本题的反例中，若二阶矩阵A，B有两个不同值，则A，B会相似于同一矩阵，从而A，B一定是有两个相同的特征值，且其中至少有一个是不可对角化的．

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考研数学一

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