2. 考研
  3. 设A=。 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

设A=。 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关。

admin2021-01-25  56
问题 设A=。
(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关。
选项
答案(Ⅰ)解方程Aξ2=ξ1， [*] r(A)=2，故有一个自由变量，令x3=2，由Ax=0解得，x2=一1，x1=1。 求特解，令x1=x2=0，得x3=1。故ξ2=(0，0，1)T+k1(1，一1，2)T，其中k1为任意常数。 解方程Aξ3=ξ1， [*] 故有两个自由变量，令x2=1，x3=0，由A2x=0得x1=一1。 令x2=0，x3=1，由A2x=0得x1=0。 且特解η2=[*]，故 ξ3=k2[*]，其中k2，k3为任意常数。 (Ⅱ)方法一：由于 ｜ξ1，ξ2，ξ3｜=[*]≠0， 故ξ1，ξ2，ξ3线性无关。 方法二：由题设可得Aξ1=0。设存在数k1，k2，k3，使得 k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=0， ① 在等式①的两端左乘A，得k2Aξ2+k3Aξ3=0，即 k2ξ1+k3Aξ3=0， ② 在等式②的两端再左乘A，得k3Aξ3=0，即k3ξ1=0。 由于ξ1≠0，所以只能是k3=0，代入②式，得k2ξ1=0，故k2=0。将k2=k3=0代人①式，可得k1=0，从而ξ1，ξ2，ξ3线性无关。
解析
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考研数学三

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