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设幂级数anxn,当n>1时,an-2=n(n-1)an,且a0=4,a1=1. (1)求级数anxn的和函数S(x); (2)求S(x)的极值.
设幂级数anxn,当n>1时,an-2=n(n-1)an,且a0=4,a1=1. (1)求级数anxn的和函数S(x); (2)求S(x)的极值.
admin
2020-04-22
23
问题
设幂级数
a
n
x
n
,当n>1时,a
n-2
=n(n-1)a
n
,且a
0
=4,a
1
=1.
(1)求级数
a
n
x
n
的和函数S(x);
(2)求S(x)的极值.
选项
答案
(1)设S(x)=[*]a
n
x
n
,则 S′(x)=[*]na
n
x
n-1
,S″(x)=[*]n(n一1)a
n
x
n-2
. 因 a
n-2
=n(n一1)a
n
, 故 S″(x)=[*]a
k
x
k
=S(x), 即 S″(x)一S(x)=0. ① 式①的特征方程为r
2
一1=0,解得r
1
=1,r
2
=-1.其通解为 S(x)=c
1
e
x
+c
2
e
-x
. 因S′(x)=c
1
e
x
-c
2
e
-x
,a
0
=4,a
1
=1,故 S(0)=4, S′(0)=1. 代入通解式中得[*]则所求的和函数为 [*] (2)由S′(x)=[*]e
-x
=0,解得 [*] 又S″(x)=[*]时,S(x)取得极小值: [*]
解析
利用题设求出S(x)所满足的微分方程,再利用初始条件求出特解即得S(x)的表示式,可用二阶导数法求得S(x)的极值.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/I7S4777K
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考研数学一
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