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  3. [2004年] 计算曲面积分I= 2x2dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧．

[2004年] 计算曲面积分I= 2x2dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧．

admin2019-04-08  57
问题 [2004年]  计算曲面积分I= 2x2dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy，其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧．
选项
答案将第二类曲面积分直接化为二重积分计算，用合一投影法求之．已知曲面∑的方程为z=1一x2—y2，它在xOy平面上的投影区域为Dxy：x2+y2≤1，且z’x=一2x，z’y=一2y．于是 I=[*]{2x3(一z’x)+2y3(一z’y)+3[(1一x2一y2)2一1]}dxdy =[*] 由对称性知，[*] 利用极坐标变换，得到 I=8∫01r5dr·∫02πcos4θdθ-6∫02πdθr3dr+3∫02πdθ∫01r5dr=[*]∫02πcos4θdθ—3π+π =[*]
解析
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考研数学一

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