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[2004年] 计算曲面积分I= 2x2dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy,其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧.
[2004年] 计算曲面积分I= 2x2dydz+2y3dzdx+3(z2—1)dxdy,其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧.
admin
2019-04-08
53
问题
[2004年] 计算曲面积分I=
2x
2
dydz+2y
3
dzdx+3(z
2
—1)dxdy,其中∑是曲面z=1一x
2
一y
2
(z≥0)的上侧.
选项
答案
将第二类曲面积分直接化为二重积分计算,用合一投影法求之.已知曲面∑的方程为z=1一x
2
—y
2
,它在xOy平面上的投影区域为D
xy
:x
2
+y
2
≤1,且z’
x
=一2x,z’
y
=一2y.于是 I=[*]{2x
3
(一z’
x
)+2y
3
(一z’
y
)+3[(1一x
2
一y
2
)
2
一1]}dxdy =[*] 由对称性知,[*] 利用极坐标变换,得到 I=8∫
0
1
r
5
dr·∫
0
2π
cos
4
θdθ-6∫
0
2π
dθr
3
dr+3∫
0
2π
dθ∫
0
1
r
5
dr=[*]∫
0
2π
cos
4
θdθ—3π+π =[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IJ04777K
0
考研数学一
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