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  3. n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2020-03-02  29
问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是(    )
选项 A、二次型xTAx的负惯性指数为零。
B、存在可逆矩阵P使P-1AP=E。
C、存在n阶矩阵C使A=CTC。
D、A的伴随矩阵A*与E合同。
答案D
解析 选项(A)是必要不充分条件。这是因为R(f)=p+q≤n。
    当q=0时，有R(f)=p≤n。此时有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x1，x2，x3)=x12+x32。
    选项(B)是充分不必要条件。这是因为P-1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值都是1属于不必要条件。
    选项(C)中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=CTC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论。例如
C=，A=CTC=
显然矩阵不正定。
  关于选项(D)，由于
    A正定A-1正定A*正定A*与E合同，所以(D)是充分必要条件。
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考研数学一

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