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  3. 下列关于反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是 ① 设f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，则f－∞＋∞(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝0； ②设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且∫-RRf(χ)dχ存在，则∫－

下列关于反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是 ① 设f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，则f－∞＋∞(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝0； ②设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且∫-RRf(χ)dχ存在，则∫－

admin2019-02-23  86
问题 下列关于反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是
    ①  设f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，则f－∞＋∞(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝0；
    ②设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且∫-RRf(χ)dχ存在，则∫－∞＋∞f(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫-RRf(χ)dχ；
    ③若∫－∞＋∞f(χ)dχ与∫－∞＋∞g(χ)dχ都发散，则∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ未必发散；
    ④若∫－∞0f(χ)dχ与∫0＋∞f(χ)dχ都发散，则∫－∞＋∞f(χ)dχ未必发散．
选项 A、1个．
B、2个．
C、3个．
D、4个．
答案A
解析 反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ收敛的充分必要条件是存在常数a，使两个反常积分∫－∞af(χ)dχ和∫a＋∞f(χ)dχ都收敛．这时定义
    ∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫－∞af(χ)dχ＋∫a＋∞f(χ)dχ
    这是判断题目中四个命题是否是真命题的依据．
    设f(χ)＝χ，则f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，且∫-RRf(χ)dχ＝0．但是∫－∞0f(χ)dχ＝∫－∞0χdχ＝∞，∫0＋∞f(χ)dχ＝∫0＋∞χdχ＝∞，故∫－∞＋∞f(χ)dχ发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．
    设f(χ)＝χ，g(χ)＝－χ，由上面讨论可知∫－∞＋∞f(χ)dχ与∫－∞＋∞g(χ)dχ都发散，但∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ收敛，这表明命题③是真命题．
    故应选A．
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