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设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证: ∫abf(x)dx=∫abf"(x)(x—a)(x—b)dx.
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证: ∫abf(x)dx=∫abf"(x)(x—a)(x—b)dx.
admin
2020-03-05
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问题
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证:
∫
a
b
f(x)dx=
∫
a
b
f"(x)(x—a)(x—b)dx.
选项
答案
连续利用分部积分有 ∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)d(x一b)=f(a)(b一a)一∫
a
b
f’(x)(x一b)d(x一a) =f(a)(b一a)+∫
a
b
(x一a)d[f’(x)(x—b)] =f(a)(b一a)+∫
a
b
(x一a)df(x)+∫
a
b
f"(x)(x一a)(x一b)dx =f(a)(b一a)+f(b)(b一a)一∫
a
b
f(x)dx+∫
a
b
f"(x)(x一a)(x一b)dx, 移项后得 ∫
a
b
f(x)dx=[*]f"(x)(x一a)(x一b)dx.
解析
很自然的想法是用分部积分法,但要注意“小技巧”:
∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)d(x一b),或∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)d(x一a),
这样改写后分部积分的首项简单.这一点考生应熟练掌握.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IgS4777K
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考研数学一
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