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设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2， 记 （Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； （Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2， 记 （Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； （Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
admin
2017-12-29
47
问题
设二次型f（x
1
，x
2
，x
3
）=2（a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
）
2
+（b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
）
2
，
记
（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
选项
答案
（Ⅰ）f（x
1
，x
2
，x
3
）=2（a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
）
2
+（b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
）
2
=2（x
1
，x
2
，x
3
）[*]（a
1
，a
2
，a
3
）[*]+（x
1
，x
2
，x
3
）[*]（b
1
，b
2
，b
3
）[*] =（x
1
，x
2
，x
3
）（2αα
T
）[*]+（x
1
，x
2
，x
3
）（ββ
T
）[*] =（x
1
，x
2
，x
3
）（2αα
T
+ββ
T
）[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
。 （Ⅱ）设A=2αα
T
+ββ
T
，由于|α|=1，α
T
β=β
T
α=O，则 Aα=（2αα
T
+ββ
T
）α=2α|α|
2
+ββ
T
α=2α， 所以α为矩阵对应特征值λ
1
=2的特征向量； Aβ=（2αα
T
+ββ
T
）β=2αα
T
β+β|β|
2
=β， 所以β为矩阵对应特征值λ
2
=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r（A）=r（2αα
T
+ββ
T
）≤r（2αα
T
）+r（ββ
T
）=2， 所以λ
3
=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IhX4777K
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考研数学三
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