设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-12-29 45

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）²，
记

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案（Ⅰ）f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）² =2（x₁，x₂，x₃）[*]（a₁，a₂，a₃）[*]+（x₁，x₂，x₃）[*]（b₁，b₂，b₃）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T）[*]+（x₁，x₂，x₃）（ββ^T）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T+ββ^T）[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T。（Ⅱ）设A=2αα^T+ββ^T，由于|α|=1，α^Tβ=β^Tα=O，则 Aα=（2αα^T+ββ^T）α=2α|α|²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Aβ=（2αα^T+ββ^T）β=2αα^Tβ+β|β|²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r（A）=r（2αα^T+ββ^T）≤r（2αα^T）+r（ββ^T）=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

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