(12年)已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2． (I)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

admin2017-04-20 71

问题 (12年)已知

二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2．
(I)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形．

选项

答案(I)因为r(A^TA)=r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a=一1时，r(A)=2，所以a=一1． (Ⅱ)由于a=一1，所以A^TA=[*]矩阵A^TA的特征多项式为 [*] =(λ一2)(λ²一6λ)=λ(λ一2)(λ一6) 于是得A^TA的特征值为λ₁=2，λ₂=6，λ₃=0．对于λ₁=2．由求方程组

解析

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