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判断下面定义的变换是否是线性变换: (1)在线性空间V中,Tζ=α,其中α∈V是一固定的向量. (2)在P3中,T(x1,x2,x3)=(2x1一x2,x2+x3,x1). (3)在P(x)中,Tf(x)=f(x+1).
判断下面定义的变换是否是线性变换: (1)在线性空间V中,Tζ=α,其中α∈V是一固定的向量. (2)在P3中,T(x1,x2,x3)=(2x1一x2,x2+x3,x1). (3)在P(x)中,Tf(x)=f(x+1).
admin
2020-09-25
67
问题
判断下面定义的变换是否是线性变换:
(1)在线性空间V中,Tζ=α,其中α∈V是一固定的向量.
(2)在P
3
中,T(x
1
,x
2
,x
3
)=(2x
1
一x
2
,x
2
+x
3
,x
1
).
(3)在P(x)中,Tf(x)=f(x+1).
选项
答案
(1)当α=0时,任取ζ
1
,ζ
2
∈V,则T(ζ
1
+ζ
2
)=0,T(ζ
1
)+T(ζ
2
)=0+0=0, 所以T(ζ
1
+ζ
2
)=Tζ
1
+Tζ
2
. 任意k∈R,T(kζ)
1
=0,kTζ
1
=k.0=0,所以T(kζ
1
)=kTζ
1
. 从而可得当α=0时,Tζ=α是线性变换. 当α≠0时,任取ζ
1
,ζ
2
∈V,T(ζ
1
+ζ
2
)=α,Tζ
1
+Tζ
2
=α+α=2α,但α≠2α,所以T(ζ
1
+ζ
2
)≠Tζ
1
+Tζ
2
,所以当α≠0时,Tζ=α不是线性变换. (2)任取(x
1
,x
2
,x
3
),(y
1
,y
2
,y
3
)∈P
3
,则 T[(x
1
,x
2
,x
3
)+(y
1
,y
2
,y
3
)]=T(x
1
+y
1
,x
2
+y
2
,x
3
+y
3
) =(2(x
1
+y
1
)一(x
2
+y
2
),x
2
+y
2
+x
3
+y
3
,x
1
+y
1
) =(2x
1
—x
2
+2y
1
—y
2
,x
2
+x
3
+y
2
+y
3
,x
1
+y
1
), T(x
1
,x
2
,x
3
)+T(y
1
,y
2
,y
3
)=(2x
1
-x
2
,x
2
+x
3
,x
1
)+(2y
1
一y
2
,y
2
+y
3
,y
1
) =(2x
1
—x
2
+2y
1
—y
2
,x
2
+x
3
+y
2
+y
3
,x
1
+y
1
), 所以T[(x
1
,x
2
,x
3
)+(y
1
,y
2
,y
3
)]=T(x
1
,x
2
,x
3
)+T(y
1
,y
2
,y
3
). 任取k∈R,T[k(x
1
,x
2
,x
3
)]=T(kx
1
,kx
2
,kx
3
)=(2kx
1
一kx
2
,kx
2
+kx
3
,kx
1
)=k(2x
1
—x
2
,x
2
+x
3
,x
1
)=kT(x
1
,x
2
,x
3
),所以T(x
1
,x
2
,x
3
)=(2x
1
一x
2
,x
2
+x
3
,x
1
)是线性变换. (3)任取f(x),g(x)∈P(x),则T[f(x)+g(x)]=f(x+1)+g(x+1)=Tf(x)+Tg(x),任取k∈R,T[kf(x)]=kf(x+1)=kTf(x).所以Tf(x)=f(x+1)是线性变换.
解析
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考研数学三
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