设4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩r(A)=3，且它的3个解向量η1，η2，η3满足η1+η2= (2，0，-2，4)T，η1+η3=(3，1，0，5)T，则Ax=b的通解为_________________．

admin2021-02-25 64

问题设4元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩r(A)=3，且它的3个解向量η₁，η₂，η₃满足η₁+η₂=
(2，0，-2，4)^T，η₁+η₃=(3，1，0，5)^T，则Ax=b的通解为_________________．

选项

答案k(1，1，2，1)^T+(1，0，-1，2)^T，其中k为任意常数

解析本题考查线性方程组的解的性质和非齐次线性方程组的通解的结构．
因为r(A)=3，所对应的齐次线性方程组Ax=0的解空间的维数为4-3=1，故它的任一非零解都可作为其基础解系．由于η₁+η₃-(η₁+η₂)=η₃-η₂=(1，1，2，1)^T可作为Ax=0的基础解系．
又

是Ax=b的—个解，所以Ax=b的通解为k(1，1，2，1)^T+(1，0，-1，2)^T，其中k为任意常数

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考研数学二

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