2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证： ∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab， 其中g(x)是f(x)的反函数．

设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证： ∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab， 其中g(x)是f(x)的反函数．

admin2019-06-28  40
问题 设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证：
∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab，
其中g(x)是f(x)的反函数．
选项
答案令F(a)=∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx-af(a)，对a求导得 F’(a)=f(a)+g[f(a)]f’(a)-af’(a)-f(a)， 由题设g(x)是f(x)的反函数知g[f(a)]=a，故F’(a)=0，从而F(a)为常数．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．
解析 即证对a有函数恒等式∫0af(x)dx+∫0f(a)g(x)dx=af(a)成立．
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考研数学二

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