设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。

admin2018-02-07 47

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(一1，2，一1)^T，α₂=(0，一1，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解。
求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q^TAQ=A。

选项

答案因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，只需将α₁与α₂正交化。由施密特正交化法，取 β₁=α₁，β₂=α₂－[*]。再将α，β₁，β₂单位化，得 [*] 令Q=(η₁，η₂，η₃)，则Q^－1=Q^T，且 Q^TAQ=[*]。

解析

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考研数学二

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