已知A3＝2E，B＝A2－A＋2E，E是n阶单位矩阵，证明：B可逆，并求其逆．

admin2020-06-05 43

问题已知A³＝2E，B＝A²－A＋2E，E是n阶单位矩阵，证明：B可逆，并求其逆．

选项

答案由已知条件可得A^3k＝2kE，A^3k+1＝2^kA，A^3k+2＝2^kA²．不妨设 (A²－A＋2E)(aA²＋bA＋cE)＝E 即 (2a－b＋c)A²＋(2a＋2b－c)A＋(﹣2a＋2b＋2c)E＝E 因此[*] 解之得a＝-1/22，b＝2/11，c＝3/11．从而所求B的逆矩阵为 B^﹣1＝[*](﹣A²＋4A＋6E)

解析

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考研数学一

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