(1996年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，且当x→0时，f’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于( )

admin2018-07-01 30

问题 (1996年)设f(x)有连续导数，f(0)=0，f’(0)≠0，

且当x→0时，f’(x)与x^k是同阶无穷小，则k等于( )

选项 A、1．
B、2．
C、3．
D、4．

答案C

解析解1

由于

而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以应选(C)．
解2 由原题知当x→0时，F’(x)与x^k为同阶无穷小，换句话说，当x→0时，F’(x)是x的k阶无穷小，本题要决定k，即要决定当x→0时，F’(x)是x的几阶无穷小，如果能决定F(x)是x的几阶无穷小，降一阶就应是F’(x)的阶数．下面来决定F(x)是x的几阶无穷小．由于
f(t)=f(0)+f’(0)t+o(t)=f’(0)t+o(t)
由于上式中第二项o(t)是高阶：无穷小，略去它不影响F(x)的阶数，则x→0时，