设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anχ＝0和(Ⅱ)An+1χ＝0，现有四个命题 (1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解； (2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解； (3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解； (4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．

admin2020-03-02 44

问题设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Aⁿχ＝0和(Ⅱ)Aⁿ⁺¹χ＝0，现有四个命题
(1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；
(2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；
(3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；
(4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
以上命题中正确的是( )

选项 A、(1)(2)
B、(1)(4)
C、(3)(4)
D、(2)(3)

答案A

解析若Aⁿα＝0，则Aⁿ⁺¹α＝A(Aⁿα)＝A0＝0，即若α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的解，可见命题(1)正确．
如果Aⁿ⁺¹α＝0，而Aⁿα≠0，那么对于向量组α，A¹α，A²α，…，Aⁿα，一方面有：
若kα＋k₁A¹α＋k₂A²α＋…＋k_nAⁿα＝0，用Aⁿ左乘上式的两边，并把Aⁿ⁺¹α＝0，Aⁿ⁺²α＝0…代入，得
kAⁿα＝0．
由Aⁿα≠0而知必有k＝0．类似地用A^n-1左乘可得k₁＝0．因此，α，A¹α，A²α，…，Aⁿα线性无关．
但另一方面，这是n＋1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾．故Aⁿ⁺¹α＝0时，必有Aⁿα＝0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此命题(2)正确．
所以应选A。

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考研数学一

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