2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anχ＝0和(Ⅱ)An+1χ＝0，现有四个命题 (1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解； (2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解； (3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解； (4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anχ＝0和(Ⅱ)An+1χ＝0，现有四个命题 (1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解； (2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解； (3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解； (4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．

admin2020-03-02  28
问题 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anχ＝0和(Ⅱ)An+1χ＝0，现有四个命题
    (1)(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；
    (2)(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；
    (3)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；
    (4)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
    以上命题中正确的是(    )
选项 A、(1)(2)
B、(1)(4)
C、(3)(4)
D、(2)(3)
答案A
解析 若Anα＝0，则An+1α＝A(Anα)＝A0＝0，即若α是(Ⅰ)的解，则α必是(Ⅱ)的解，可见命题(1)正确．
    如果An+1α＝0，而Anα≠0，那么对于向量组α，A1α，A2α，…，Anα，一方面有：
    若kα＋k1A1α＋k2A2α＋…＋knAnα＝0，用An左乘上式的两边，并把An+1α＝0，An+2α＝0…代入，得
    kAnα＝0．
    由Anα≠0而知必有k＝0．类似地用An-1左乘可得k1＝0．因此，α，A1α，A2α，…，Anα线性无关．
    但另一方面，这是n＋1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾．故An+1α＝0时，必有Anα＝0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．因此命题(2)正确．
    所以应选A。
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考研数学一

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