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求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。
求二元函数z=f(x,y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。
admin
2021-10-08
60
问题
求二元函数z=f(x,y)=x
2
y(4一x—y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。
选项
答案
首先在区域D内求驻点。令 [*] 在D内仅有唯一驻点(2,1)。在点(2,1)处,有 A=f"
xx
(2,1)=(8y一6xy一2y
2
)|
(2,1)
=一6<0, B=f"
xy
(2,1)=(8x一3x
2
一4xy)|
(2,1)
=一4, C=f"
yy
(2,1)=一2x
2
|
(2,1)
=一8。 于是,AC—B
2
=32>0,A<0,因此点(2,1)是极大值点,且极大值f(2,1)=4。 在D的边界x=0(0≤y≤6)和y=0(0≤x≤6)上,f(x,y)=0。 在D的边界x+y=6(0<x<6)上,把y=6一x代入f(x,y)可得 z=2x
2
(x一6),(0<x<6)。 由于 z’=6x(x一4)[*] 所以点(4,2)是这段边界上z的最小值点,最小值f(4,2)=一64。 比较D内驻点的函数值f(2,1)=4和f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值可得f(x,y)在D上的最大值和最小值分别是 [*](x,y)=f(4,2)=一64。
解析
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考研数学二
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