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  3. 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。

admin2021-10-08  37
问题 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。
选项
答案首先在区域D内求驻点。令 [*] 在D内仅有唯一驻点(2，1)。在点(2，1)处，有 A=f"xx(2，1)=(8y一6xy一2y2)|(2，1)=一6＜0， B=f"xy(2，1)=(8x一3x2一4xy)|(2，1)=一4， C=f"yy(2，1)=一2x2|(2，1)=一8。 于是，AC—B2=32＞0，A＜0，因此点(2，1)是极大值点，且极大值f(2，1)=4。 在D的边界x=0(0≤y≤6)和y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0。 在D的边界x+y=6(0＜x＜6)上，把y=6一x代入f(x，y)可得 z=2x2(x一6)，(0＜x＜6)。 由于 z’=6x(x一4)[*] 所以点(4，2)是这段边界上z的最小值点，最小值f(4，2)=一64。 比较D内驻点的函数值f(2，1)=4和f(x，y)在D的边界上的最大值和最小值可得f(x，y)在D上的最大值和最小值分别是 [*](x，y)=f(4，2)=一64。
解析
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考研数学二

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