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已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式。证明: aij=Aij <=> ATA=E,且|A|=1;
已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式。证明: aij=Aij <=> ATA=E,且|A|=1;
admin
2019-06-28
47
问题
已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵,A
ij
为A中元素a
ij
的代数余子式。证明:
a
ij
=A
ij
<=> A
T
A=E,且|A|=1;
选项
答案
当a
ij
=A
ij
,有A
T
=A
*
,则A
T
A=A
*
A=|A|E。由于A
*
为n阶非零实矩阵(a
ij
不全为零),所以tr(A
T
A)=[*]a
ij
2
>0,tr(A
T
A)=tr(|A|E)=n|A|,故|A|>0。在A
T
A=|A|E两边取行列式,得|A|
n—2
=1,从而|A|=1。 反之,若A
T
A=E且|A|=1,则A
*
A=|A|E=A
T
A,于是A
T
=A
*
,即a
ij
=A
ij
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KZV4777K
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考研数学二
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