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  3. 已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式。证明： aij=Aij ＜=＞ ATA=E，且｜A｜=1；

已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式。证明： aij=Aij ＜=＞ ATA=E，且｜A｜=1；

admin2019-06-28  43
问题 已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式。证明：
aij=Aij ＜=＞ ATA=E，且｜A｜=1；
选项
答案当aij=Aij，有AT=A*，则ATA=A*A=｜A｜E。由于A*为n阶非零实矩阵(aij不全为零)，所以tr(ATA)=[*]aij2＞0，tr(ATA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0。在ATA=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜n—2=1，从而｜A｜=1。 反之，若ATA=E且｜A｜=1，则A*A=｜A｜E=ATA，于是AT=A*，即aij=Aij。
解析
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考研数学二

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