已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式。证明： aij=Aij ＜=＞ ATA=E，且｜A｜=1；

admin2019-06-28 29

问题已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式。证明：
a_ij=A_ij ＜=＞ A^TA=E，且｜A｜=1；

选项

答案当a_ij=A_ij，有A^T=A^*，则A^TA=A^*A=｜A｜E。由于A^*为n阶非零实矩阵(a_ij不全为零)，所以tr(A^TA)=[*]a_ij²＞0，tr(A^TA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0。在A^TA=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜^n—2=1，从而｜A｜=1。反之，若A^TA=E且｜A｜=1，则A^*A=｜A｜E=A^TA，于是A^T=A^*，即a_ij=A_ij。

解析

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