2. 考研
  3. (13年)设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且f(χ)＝2．证明： (Ⅰ)存在a＞0，使得f(a)＝1； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的a，存在ε∈(0．a)，使得f′(ξ)＝．

(13年)设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且f(χ)＝2．证明： (Ⅰ)存在a＞0，使得f(a)＝1； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的a，存在ε∈(0．a)，使得f′(ξ)＝．

admin2017-05-26  32
问题 (13年)设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且f(χ)＝2．证明：
    (Ⅰ)存在a＞0，使得f(a)＝1；
    (Ⅱ)对(Ⅰ)中的a，存在ε∈(0．a)，使得f′(ξ)＝．
选项
答案(Ⅰ)因为[*]f(χ)＝2，所以存在χ0＞0，使得f(χ0)＞1． 因为f(χ)在[0，＋∞]上可导，所以f(χ)在[0，＋∞)上连续． 又f(0)＝0，根据连续函数的介值定理，存在a∈(0，χ0)，使得f(a)＝1． (Ⅱ)因为函数f(χ)在区间[0，a]上可导，根据微分中值定理，存在ξ∈(0，a)，使得f(a)－f(0)＝af′(ξ)． 又因为f(0)＝0，f(a)＝1，所以f′(ξ)＝[*]．
解析
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考研数学三

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