2. 考研
  3. 设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则|3E-A|=_______。

设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则|3E-A|=_______。

admin2017-01-16  46
问题 设A为n阶实对称正交矩阵，且1为A的r重特征根，则|3E-A|=_______。
选项
答案22n-r
解析 由于A为n阶实对称正交矩阵，所以A可以相似对角化，且|A|=±1。
由A可以相似对角化可知，存在可逆矩阵P，使得
P-1AP=diag(1，1，…，1，-1，-1，…，-1)，
其中1有r个，-1有n-r个。
所以
|3E-A|=|P(3E-P-1AP)P-1|=|P||3E-P-1AP||P-1|=|3E-P-1AP|，注意到3E-P-1AP是对角矩阵，对角线上有r个2，n-r个4，所以
|3E-A|=2r4n-r=2n-r。
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考研数学一

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