2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．试证明：至少存在一点η∈[0，1]，使f’(η)=2∫01f(x)dx．

设f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．试证明：至少存在一点η∈[0，1]，使f’(η)=2∫01f(x)dx．

admin2016-12-16  62
问题 设f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．试证明：至少存在一点η∈[0，1]，使f’(η)=2∫01f(x)dx．
选项
答案因为f’(x)在[0，1]上连续，所以函数f’(x)在[0，1]上有最值， 设其最大值与最小值分别为M和m，即有 m≤f’(x)≤M，x∈[0，1]． 又由拉格朗日中值定理有 f(x)=f(x)一f(0)=xf’(ξ)， 则 2∫01f(x)dx=2∫01xf’(ξ)dx， ① 因m≤f’(ξ)≤M，故 a≤xf’(ξ)≤xM(因z＞0)， 所以 2mx≤2xf’(ξ)≤2xM， 因而 2m∫01xdx≤2∫01xf’(ξ)dx≤2M∫01xdx， 即 m≤2∫01xf’(ξ)dx≤M， 由式①得到 m≤2∫01f(x)dx≤M． 对f’(x)使用介值定理，得到至少存在一点η∈[0，1]，使 f’(η)=2∫01f(x) dx．
解析 因f’(x)在[0，1]上连续，如能证明2∫01f(x)如在函数f’(x)的最大值与最小值之间，对f’(x)在[0，1]上使用介值定理，问题得证．为要产生导数f’(η)，注意到f(0)=0，可先使用拉格朗日中值定理．
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考研数学三

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