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设f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.试证明:至少存在一点η∈[0,1],使f’(η)=2∫01f(x)dx.
设f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.试证明:至少存在一点η∈[0,1],使f’(η)=2∫01f(x)dx.
admin
2016-12-16
55
问题
设f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(0)=0.试证明:至少存在一点η∈[0,1],使f’(η)=2∫
0
1
f(x)dx.
选项
答案
因为f’(x)在[0,1]上连续,所以函数f’(x)在[0,1]上有最值, 设其最大值与最小值分别为M和m,即有 m≤f’(x)≤M,x∈[0,1]. 又由拉格朗日中值定理有 f(x)=f(x)一f(0)=xf’(ξ), 则 2∫
0
1
f(x)dx=2∫
0
1
xf’(ξ)dx, ① 因m≤f’(ξ)≤M,故 a≤xf’(ξ)≤xM(因z>0), 所以 2mx≤2xf’(ξ)≤2xM, 因而 2m∫
0
1
xdx≤2∫
0
1
xf’(ξ)dx≤2M∫
0
1
xdx, 即 m≤2∫
0
1
xf’(ξ)dx≤M, 由式①得到 m≤2∫
0
1
f(x)dx≤M. 对f’(x)使用介值定理,得到至少存在一点η∈[0,1],使 f’(η)=2∫
0
1
f(x) dx.
解析
因f’(x)在[0,1]上连续,如能证明2∫
0
1
f(x)如在函数f’(x)的最大值与最小值之间,对f’(x)在[0,1]上使用介值定理,问题得证.为要产生导数f’(η),注意到f(0)=0,可先使用拉格朗日中值定理.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L6H4777K
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考研数学三
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