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设向量组α1,α2,α3,β1线性相关,向量组α1,α2,α3,β2线性无关,则对于任意常数k,必有( ).
设向量组α1,α2,α3,β1线性相关,向量组α1,α2,α3,β2线性无关,则对于任意常数k,必有( ).
admin
2022-01-05
59
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
,β
1
线性相关,向量组α
1
,α
2
,α
3
,β
2
线性无关,则对于任意常数k,必有( ).
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关
B、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性相关
C、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性无关
D、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
可用线性无关的定义证明.由于k为任意常数,令k取某些特殊值也可用排错法判别.
解一 对于任意常数k,证明(A)成立.设
l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
+l
4
(kβ
1
+β
2
)=0
下证l
4
=0.若l
4
≠0,则kβ
1
+β
2
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,由题设知β
1
能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,因而β
2
能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.这与α
1
,α
2
,α
3
,β
2
线性无关相矛盾,所以l
4
=0,则上述等式可化为l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
=0.
而α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故l
1
=0,l
2
=0,l
3
=0,所以α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关.故(A)正确.
解二 当k=0时,显然(B)、(C)不成立.
当k=1时,(D)不成立.事实上,由题设α
1
,α
2
,α
3
,β
2
线性无关,如果α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+β
2
线性相关,而α
1
,α
2
,α
3
线性无关,β
1
,α
1
,α
2
,α
3
线性相关,则β
1
能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,而β
2
不能,于是β
1
+β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,所以(D)不成立.仅(A)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LER4777K
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考研数学三
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