试讨论n维向量α1，α2，…，αs的线性相关性，其中αi＝(1，ai，ai2，…，ain-1)T，i＝1，2，…，s．

admin2019-01-23 31

问题试讨论n维向量α₁，α₂，…，α_s的线性相关性，其中α_i＝(1，a_i，a_i²，…，a_i^n-1)^T，i＝1，2，…，s．

选项

答案若a_i＝a_j，则向量组中有相等的向量，必线性相关．下设α₁，α₂，…，α_s互不相同，则 (Ⅰ)若s＞n，则α₁，α₂，…，α_s必线性相关． (Ⅱ)若s＝n，则因｜α₁，α₂，…，α_n｜＝ [*](a_i－a_j)≠0，必有α₁，α₂，…，α_n线性无关． (Ⅲ)若s＜n，令β_i＝(1，a_i，a_i²，…，a_i^s-1)^T，i＝1，2，…，s，由(Ⅱ)知β₁，β₂，…，β_S线性无关，那么其延伸组α₁，α₂，…，α_s必线性无关．

解析

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考研数学一

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设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A。
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