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  3. [2013年] 求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

[2013年] 求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2019-04-05  52
问题 [2013年]  求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．
选项
答案 曲线上的点(x，y)到坐标原点的距离为d=[*]，其最长距离dmax与最短距离dmin就是d=[*] 在条件x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)下的最大值与最小值．显然用拉格朗日函数法求之． 因d=[*]与f(x，y)=x2+y2在相同点取得最值，故可令拉格朗日函数为 F(x，y，λ)=x2+y2+λ(x3一xy+y3一1) 先求驻点，为此解方程组： [*]=2x+λ(3x2一y)=0， ① [*]=2y+λ(一x+3y2)=0， ② [*]=x3一xy+y3一1=0． ③ 将①×y2一②×x2得到2xy(y—x)+λ(x—y)(x2+xy+y2)=0，因此得到x=y． 将y=x代入式③得到 x3一x2+x3一1=x2(x一1)+(x一1)(x2+x+1)=0， 即(x一1)(2x2+x+1)=0，解得x=1． 得唯一驻点(1，1)，又曲线是含端点的曲线段，端点(0，1)与(1，0)也很可能是最值点．比较函数值： d(0，1)=1，d(1，0)=1，d(1，1)=[*]. 因实际问题存在最长距离与最短距离，故最长距离为dmax=√2，最短距离为dmin=1．
解析
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考研数学二

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