设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，已知Em+AB可逆．设其中a1b1+a2b2+a3b3=0．证明：W可逆，并求W－1．

admin2018-09-25 39

问题设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，已知E_m+AB可逆．
设

其中a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0．证明：W可逆，并求W^－1．

选项

答案[*] =E+[a₁，a₂，a₃][b₁，b₂，b₃][*]E+AB．由(1)知E+AB可逆，则E+BA可逆，且(E+BA)^－1=E－B(E+AB)^－1A，反之若E+BA可逆，则E+AB可逆，且(E+AB)^－1=E－A(E+BA)^－1B．因为E+BA=E+[b₁，b₂，b₃][a₁，a₂，a₃]^T=E+[a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃]=E+O=E，故E+BA可逆，(E+BA)^－1=E．故W=E+AB可逆，且 W^－1=E－A(E+BA)^－1B=E－[a₁，a₂，a₃]^T.E.[b₁，b₂，b₃] [*]

解析

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考研数学一

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