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设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是三维线性无关的向量组,且Aα1=α1+3α2,Aα2=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3. (I)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q-1叫AQ为对角矩阵.
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是三维线性无关的向量组,且Aα1=α1+3α2,Aα2=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3. (I)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q-1叫AQ为对角矩阵.
admin
2020-02-27
90
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是三维线性无关的向量组,且Aα
1
=α
1
+3α
2
,Aα
2
=5α
1
-α
2
,Aα
3
=α
1
-α
2
+4α
3
.
(I)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q
-1
叫AQ为对角矩阵.
选项
答案
(I)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以P可逆. 因为Aα
1
=α
1
+3α
2
,Aα
2
=5α
1
一α
2
,Aα
3
=α
1
-α
2
+4α
3
, 所以(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)-(α
1
+3α
2
,5α
1
-α
2
,α
1
-α
2
+4α
3
), [*] 得A的特征值为λ
1
=-4,λ
2
=λ
3
=4. (Ⅱ)因为A~B,所以B的特征值为λ
1
=-4,λ
2
=λ
3
=4. [*] 因为P
-1
AP=B,所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/M3D4777K
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考研数学三
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