设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1－α2，Aα3=α1－α2+4α3． (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q－1叫AQ为对角矩阵．

admin2020-02-27 109

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是三维线性无关的向量组，且Aα₁=α₁+3α₂，Aα₂=5α₁－α₂，Aα₃=α₁－α₂+4α₃．
(I)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q^－1叫AQ为对角矩阵．

选项

答案(I)令P=(α₁，α₂，α₃)，因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以P可逆．因为Aα₁=α₁+3α₂，Aα₂=5α₁一α₂，Aα₃=α₁－α₂+4α₃，所以(Aα₁，Aα₂，Aα₃)－(α₁+3α₂，5α₁－α₂，α₁－α₂+4α₃)， [*] 得A的特征值为λ₁=－4，λ₂=λ₃=4． (Ⅱ)因为A～B，所以B的特征值为λ₁=－4，λ₂=λ₃=4． [*] 因为P^－1AP=B，所以 [*]

解析

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考研数学三

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设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1－α2，Aα3=α1－α2+4α3． (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q－1叫AQ为对角矩阵．

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