求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

admin2015-07-10 69

问题求二元函数z=f(x，y)=x²y(4一x—y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值．

选项

答案(1)求f(x，y)在区域D的边界上的最值，在L₁：y=0(0≤x≤6)上，z=0；在L₂：x=0(0≤y≤6)上，z=0；在L₃：y=6一x(0≤x≤6)上，z=一2x²(6一x)=2x³一12x²，由[*]=6x²—24x=0得x=4，因为f(0，0)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=一64，所以f(x，y)在L₃上最小值为一64，最大值为0． [*] 因为AC—B²＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)=4，故z=f(x，y)在D上的最小值为m=f(4，2)一64，最大值为M=f(2，1)=4．

解析

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考研数学三

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