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  3. 求证f(x)=πx(1一x)cosπx一(1—2x)sinπx＞0当x∈时成立．

求证f(x)=πx(1一x)cosπx一(1—2x)sinπx＞0当x∈时成立．

admin2018-05-23  31
问题 求证f(x)=πx(1一x)cosπx一(1—2x)sinπx＞0当x∈时成立．
选项
答案注意f(x)在[*]上连续，且f(0)=[*]=0．先求 f’(x) =-π2x(1一x)sinπx+π(1—2x)cosπx一π(1—2x)cosπx+2sinπx =[2—π2x(1一x)]sinπx[*]g(x)sinπx，其中g(x)=2一π2x(1一x)． 显然，f’(x)的正负号取决于g(x)的正负号，用单调性方法判断g(x)的符号．由于g’(x)=一π2(1—2x)＜0[*] 故g(x)在[*]从而存在唯一的x0∈[*] 使g(x0)=0．又由 [*]
解析
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考研数学三

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