已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1) T十k1 (1,0,2,1) T+k2 (2,1,1,—1) T. 令B=(α1,α2,α3),求Bx=6的通解;

admin2019-08-26  37

问题 已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1) T十k1 (1,0,2,1) T+k2 (2,1,1,—1) T
令B=(α1,α2,α3),求Bx=6的通解;

选项

答案先求Bx=0的基础解系,为此,首先要找出矩阵B的秩. 由题目的已知信息可知:Ax=0的基础解系中含有两个向量,故4—R(A)=2,即R(A)=2,而由(1,0,2,1)T是Ax=0的解,可得α1十2α34=0,故α4=—α1—2α3.可知α4能由α1,α2,α3线性表示,故 R(α1,α2,α3,α4)=R(α1,α2,α3)=R(B),即R(B)=2. 因此,Bx=0的基础解系中仅含一个向量,求出Bx=0的任一非零解即为其基础解系. 由于(1,0,2,1)T,(2,1,1,—1)T均为Ax=0的解,故它们的和(3,1,3,0)T也为Ax=0的解,可知3α12+3α3=0,因此(3,l,3)T为Bx=0的解,也即(3,1,3)T为Bx=0的基础解系. 最后,再求Bx=b的任何一个特解即可.只需使得Ax=b的通解中α1的系数为0即可. 为此,令(1,1,l,1)T十k1(1,0,2,1)T+k2(2,1,l,—1)T中k1=0,k2=1,得(3,2,2,0)T是Ax=b的一个解,故(3,2,2)T是Bx=b的一个解. 可知Bx=b的通解为(3,2,2)T+k(3,1,3)T,k∈R

解析
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