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设A是3阶矩阵,Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2,Aξ3=ξ3,则存在可逆矩阵P,使得P-1AP=其中P是 ( )
设A是3阶矩阵,Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2,Aξ3=ξ3,则存在可逆矩阵P,使得P-1AP=其中P是 ( )
admin
2018-08-22
53
问题
设A是3阶矩阵,Ax=0有通解k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
,Aξ
3
=ξ
3
,则存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP=
其中P是 ( )
选项
A、[ξ
1
,ξ
2
,ξ
1
+ξ
3
]
B、[ξ
2
,ξ
3
,ξ
1
]
C、[ξ
1
+ξ
2
,一ξ
2
,2ξ
3
]
D、[ξ
1
+ξ
2
,ξ
2
一ξ
3
,ξ
3
]
答案
C
解析
由题意,知ξ
1
,ξ
2
是A的对应于特征值λ
1
=0的线性无关的特征向量,ξ
3
是A的对应于特征值λ
2
=1的特征向量,且注意下列概念:
①A的同一个特征值对应的特征向量的非零线性组合,如λ=0对应的特征向量是ξ
1
,ξ
2
,则k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
为非零向量时,仍是A的对应于该特征值的特征向量.λ=1对应的特征向量是ξ
3
,则kξ
3
仍是λ=1对应的特征向量,k为任意非零常数.
②对不同特征值λ
1
≠λ
2
,则对应的特征向量的线性组合(如ξ
1
+ξ
3
,ξ
2
一ξ
3
等)不再是A的特征向量.
③P中的特征向量排列次序应与对角阵中λ的排列次序一致.
由上述三条知应选(C),因(C)中,ξ
1
+ξ
2
,一ξ
2
仍是对应于特征值λ=0的特征向量,2ξ
3
仍是对应于特征值λ=1的特征向量,且与对角矩阵中特征值的排列次序一致.故应选(C).
(A)中ξ
1
+ξ
3
不是特征向量,(B)中ξ
3
,ξ
1
对应的特征值的排列次序不一致,(D)中ξ
2
一ξ
3
不是特征向量,故都是错误的.
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考研数学二
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