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对n元实二次型f=xTAx,其中x=(x1,x2,…,xn)T。试证f在条件x12+x22+…+xn2=1下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
对n元实二次型f=xTAx,其中x=(x1,x2,…,xn)T。试证f在条件x12+x22+…+xn2=1下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
admin
2018-12-19
65
问题
对n元实二次型f=x
T
Ax,其中x=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
。试证f在条件x
1
2
+x
2
2
+…+x
n
2
=1下的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
选项
答案
实二次型f=x
T
Ax所对应的矩阵A为实对称矩阵,则存在正交矩阵P使 P
T
AP=[*] 其中λ
i
(i=1,2,…,n)是矩阵A的特征值。作线性变换x=Py,其中y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
,则 x
1
2
+x
2
2
+…+x
n
2
=x
T
x=y
T
(P
T
P)y=y
T
y=y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
, f=x
T
Ax=y
T
(P
T
AP)y=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+λ
n
y
n
2
。 求f=x
T
Ax在条件x
T
x=1下的最大值可转化为求f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+λ
n
y
n
2
在条件y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
=1下的最大值。设c=max{λ
1
,λ
2
,…,λ
n
},则 f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+λ
n
y
n
2
≤c(y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
)=c, 上式取y=(1,0,…,0)
T
时,等号成立,此时f取到最大值c。故在条件x
T
x=1下,f的最大值恰好为矩阵A的最大特征值。
解析
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考研数学二
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