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  3. 非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则

非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则

admin2012-09-06  57
问题 非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则
选项 A、r=m时，方程组Ax=b有解．
B、r=n时，方程组Ax=b有唯一解．
C、m=n时，方程组Ax=b有唯一解．
D、r
答案A
解析 因为A是m×n矩阵，若秩r(A)=m，则
m=r(A)≤r(A，b)≤m．
于是r(A)=r(A，b)．故方程组有解，即应选(A)．或，由r(a)=m，知A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的m个
行向量也是线性无关的．亦知r(A)=r(A，b)．
关于(B)、(D)不正确的原因是：由r(A)=n不能推导出r(A，b)=n(注意A是m×n矩阵，m可能大于n)，由r(A)=r亦不能推导出r(A，b)=r，你能否各举一个简单的例子?
至于(C)，由克莱姆法则，r(A)=n时才有唯一解，而现在的条件是r(a)=r，因此(C)不正确．
本题答对的同学仅40％，一是由r(A)=m不会分析出r(A，b)=m，一是由r(A)=n误认为必有r(A)=n．
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考研数学三

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