设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2。设β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。

admin2018-04-12 39

问题设3阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃)有3个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂。
设β=α₁+α₂+α₃，求方程组Ax=β的通解。

选项

答案由r(A)=2可知，齐次线性方程组Ax=0的基础解系只有1个解向量。再由α₃=α₁+2α₂可得，α₁+2α₂一α₃=0，从而可得Ax=0的基础解系为(1，2，一1)^T。由β=α₁+α₂+α₃可得，Ax=β的特解为(1，1，1)^T，所以Ax=β的通解为k(1，2，一1)^T+(1，1，1)^T，其中k∈R。

解析求解非齐次线性方程组的通解关键在于找到基础解系及一个特解。

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