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[2011年] 设A=[α1,α2,α3,α4]是四阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,若[1,0,1,0]T是方程组AX=0的一个基础解系,则A*X=0的基础解系可为( ).
[2011年] 设A=[α1,α2,α3,α4]是四阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,若[1,0,1,0]T是方程组AX=0的一个基础解系,则A*X=0的基础解系可为( ).
admin
2019-05-10
57
问题
[2011年] 设A=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]是四阶矩阵,A
*
为A的伴随矩阵,若[1,0,1,0]
T
是方程组AX=0的一个基础解系,则A
*
X=0的基础解系可为( ).
选项
A、α
1
,α
3
B、α
1
,α
2
C、α
1
,α
2
,α
3
D、α
2
,α
3
,α
4
答案
D
解析
先求A
*
X=0的一个基础解系所含解向量的个数.再由A
*
A=∣A∣E=0E=0得到A的列向量为A
*
X=0的解,且A的列向量组中含有A
*
X=0的基础解系,最后利用AX=0的基础解系求得A的列向量之间的线性关系,从而确定A
*
X=0的基础解系.
因AX=0的基础解系只含一个解向量[1,0,1,0]
T
,故n一秩(A)=4一秩(A)=1,即秩(A)=3.因而秩(A
*
)=1.于是A
*
X=0的一个基础解系必含n一秩(A
*
)=4一l=3个解向量,这就排除了(A),(B)选项.
因秩(A)=3,故∣A∣=0,所以A
*
A=∣A∣E=O.又因秩(A)=3,故A的列向量组中含有A
*
X=0的基础解系.
又因[1,0,1,0]
T
为AX=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]X=0的解向量,故[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
][1,0,1,0]
T
=α
1
+α
3
=0,即α
1
与α
3
线性相关,从而排除(C).仅(D)入选.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/NVV4777K
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考研数学二
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