2. 考研
  3. 求下列旋转体的体积V： (Ⅰ)由曲线x2+y2≤2x与y≥x确定的平面图形绕直线x=2旋转而成的旋转体； (Ⅱ)由曲线y=3-｜x2-1｜与x轴围成封闭图形绕直线y=3旋转而成的旋转体．

求下列旋转体的体积V： (Ⅰ)由曲线x2+y2≤2x与y≥x确定的平面图形绕直线x=2旋转而成的旋转体； (Ⅱ)由曲线y=3-｜x2-1｜与x轴围成封闭图形绕直线y=3旋转而成的旋转体．

admin2018-06-27  155
问题 求下列旋转体的体积V：
(Ⅰ)由曲线x2+y2≤2x与y≥x确定的平面图形绕直线x=2旋转而成的旋转体；
(Ⅱ)由曲线y=3-｜x2-1｜与x轴围成封闭图形绕直线y=3旋转而成的旋转体．
选项
答案(Ⅰ)对该平面图形，我们可以作垂直分割也可作水平分割． 作水平分割．该平面图形如图3．28．上半圆方程写成x=1-[*](0≤y≤1)．任取y轴上[0，1]区间内的小区间[y，y+dy]，相应的微元绕x=2旋转而成的立体体积为 dV={π[2-(1-[*])]2-π(2-y)2}dy． 于是 V=π∫01[2-(1-[*])]2dy-π∫01(2-y)2dy， =π∫01(2-y2+[*])dy-π∫12t2dt [*] (Ⅱ)曲线y=3-｜x2-1｜与x轴的交点是(-2，0)，(2，0)．曲线y=f(x)=3-｜x2-1｜与x轴围成的平面图形，如图3．29所示． [*] 显然作垂直分割方便．任取[x，x+dx][*][-2，2]，相应的小竖条绕y=3旋转而成的立体体积为 dV=π[32-(3-f(x))2]dx=π(9-｜x2-1｜2)dx， 于是V=π∫-22[9-(x2-1)2]dx =2π∫02[9-(x4-2x2+1)]dx [*]
解析
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考研数学二

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