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  3. 设直线L：及π：x—y+2z一1=0． (1)求直线L在平面π上的投影直线L0； (2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程．

设直线L：及π：x—y+2z一1=0． (1)求直线L在平面π上的投影直线L0； (2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程．

admin2020-03-05  29
问题 设直线L：及π：x—y+2z一1=0．
    (1)求直线L在平面π上的投影直线L0；
    (2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程．
选项
答案(1)令[*]=t，即x=1+t，y=t，z=1一t，将x=1+t，y=t，z=1一t代入平面x—y+2z一1=0，解得t=1，从而直线L与平面π的交点为M1(2，1，0)． 过直线L且垂直于平面π的平面法向量为s1={1，1，一1}×{1，一1，2}={1，一3，一2}， 平面方程为 π1：1×(x一2)一3×(y一1)一2×z=0，即π1：x一3y一2z+1=0 从而直线L在平面π上的投影直线一般式方程为 [*] (2)设M(x，y，z)为所求旋转曲面∑上任意一点，过该点作垂直于y轴的平面，该平面与∑相交于一个圆，且该平面与直线L及y轴的交点分别为M0(x0，y0，z0)及T(0，y，0)，由｜M0T｜=｜MT｜，得x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y0，z0)∈L，即[*]，将其代入上式得 ∑：x2+z2=(y+1)2+(1一y)2，即∑：x2一2y2+z2=2．
解析
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考研数学一

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