设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB=0．证明：r(A)+r(B)≤n．

admin2022-11-03 249

问题设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB=0．证明：r(A)+r(B)≤n．

选项

答案令B=(β₁，β₂，…，β_s)，因为AB=0，所以B的列向量组β₁，β₂，…，β_s为方程组AX=0的一组解，而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n=r(A)，所以向量组β₁，β₂，…，β_s的秩不超过n-r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)≤n-r(A)，即r(A)+r(B)≤n．

解析

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考研数学三

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