2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，则下列说法正确的是 ( ) ①若f’’(x)＞0，则∫01f(x)dx＞f(1/2) ②若f’’(x)＞0，则∫01f(x)dx＜f(1/2) ③若f’’(x)＜0，则∫01f(x)dx＞f(

设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，则下列说法正确的是 ( ) ①若f’’(x)＞0，则∫01f(x)dx＞f(1/2) ②若f’’(x)＞0，则∫01f(x)dx＜f(1/2) ③若f’’(x)＜0，则∫01f(x)dx＞f(

admin2022-06-09  36
问题 设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，则下列说法正确的是    (          )
①若f’’(x)＞0，则∫01f(x)dx＞f(1/2)
②若f’’(x)＞0，则∫01f(x)dx＜f(1/2)
③若f’’(x)＜0，则∫01f(x)dx＞f(1/2)
④若f’’(x)＜0，则∫01f(x)dx＜f(1/2)
选项 A、①④
B、②③
C、②④
D、①③
答案A
解析 由已知，比较∫01f(x)dx与f(1/2)＝∫01f(1/2)dx的大小
当f’’(x)＞0 时，由泰勒公式，得
f(x)＝f(1/2)＋f’(1/2)(x－1/2)－f’’(ξ)(x－1/2)2(ξ介于1/2之间）
≥f(1/2)＋f’(1/2)(x－1/2)
当且仅当x＝1/2时，等号成立，故∫01<f(x)dx＞∫01f(1/2)dx＋(x－1/2)dx
＝∫01(1/2)dx＞∫01f(1/2)dx＋∫01f’(1/2)(x－1/2)dx
＝∫01f(1/2)dx＋0＝f(1/2)
同理可知，当f’’(x)＜0时，有∫01f(1/2)dx＜f(1/2)，故A正确
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考研数学二

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