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假设测量的随机误差X~N(0,102),试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松定理求出α的近似值(e-5=0.007).
假设测量的随机误差X~N(0,102),试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松定理求出α的近似值(e-5=0.007).
admin
2017-10-25
60
问题
假设测量的随机误差X~N(0,10
2
),试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松定理求出α的近似值(e
-5
=0.007).
选项
答案
记事件A=“100次独立测量中至少有3次测量误差X的绝对值大于19.6”=“100次独立测量中,事件{|X|>19.6}至少发生3次”,依题意,所求α=P(A),如果记事件C={|X|>19.6},Y表示100次独立测量中事件C发生的次数,则事件A={Y≥3},Y~B(100,p),其中p=P(C). p=P(C)=P{|X|>19.6}=1—P{|X|≤19.6} =1一P{一19.6≤X≤19.6}=1一[*] =2[1一φ(1.96)]=2×0.025=0.05, 因此所求的概率 α=P(A)=P{Y≥3}=1一P{Y<3} =1—P{Y=0}一P{Y=1}一P{Y=2}, 其中P{Y=k}=C
100
k
P
k
(1一p)
100-k
=C
100
k
×0.05
k
×0.95
100-k
. 由于n=100充分大,p=0.05很小,np=100×0.05=5适中,显然满足泊松定理的条件,可认为Y近似服从参数为5的泊松分布,因此P{Y=k}≈[*]e
-λ
,其中λ=np=5,于是α≈1-e
-5
-5e
-5
-[*]e
-5
=1-18.5e
-5
=0.87.
解析
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考研数学三
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