设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值的和为l，特征值的乘积为－12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

admin2019-11-03 58

问题设二次型

，其中二次型的矩阵A的特征值的和为l，特征值的乘积为－12。
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

选项

答案(Ⅰ)二次型f对应的矩阵为A[*] 设A的特征值λ₁，λ₂，λ₃满足已知条件，则λ₁＋λ₂＋λ₃＝a+2-2＝1，λ₁＋λ₂＋λ₃＝｜A｜＝-4a－2b²＝-12。解得a＝l，b＝±2，已知b>0，因此a＝1，b＝2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 [*] 解得A的三个特征值分别为2，2，－3。由 [*] 可求得属于特征值2的特征向量有两个，分别为ξ₁＝(0，1，0)^T，ξ₂＝(2，0，1)^T。由 [*] 可求得属于特征值一3的特征向量为ξ₃＝(1，0，一2)^T。由于A的三个特征向量已经两两正交，因此只需要单位化，即 [*] 可得正交矩阵 [*] 令x＝Qy,则有 [*]

解析本题主要考查特征值的性质、特征值和特征向量的求解以及用正交变换法化二次型为标准形。

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考研数学一

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设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值的和为l，特征值的乘积为－12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

考研数学一

设函数，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．

利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx－2y′sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解．

设矩阵A＝可逆，向量α＝是矩阵A的特征向量，其中A是A的伴随矩阵，求a，b的值．

设f(x)在[一2，2]上有连续的导数，且f(0)＝0，F(x)＝f(x＋t)dt，证明级数绝对收敛．

设A是3阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是矩阵A的三个不同的特征值，α1，α2，α3是相应的单位特征向量，证明A＝λ1α1α1T＋λ2α2α2T＋λ3α3α3T．

计算曲面积分(z2+x)dydz—zdxdy，其中∑是旋转抛物面z=(x2+y2)介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧。

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3．(1)求A的特征值．(2)判断A是否相似于对角矩阵?

设α1，α2，…，αm均为n维实列向量，令矩阵证明：A为正定矩阵的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αm线性无关．

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,=a，其中D={(x，y)丨0≤x≤1，0≤yY≤1}，计算二重积分

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e-t，y=2t+e-2t(t≥0)．证明y=y(x)在[1，+∞)单调上升且是凸的．

关于复代理，下列选项错误的是()

Thetwinbrothersareverymuch______inappearance.

一谷物的赖氨酸评分为0.42，苏氨酸0.70，蛋氨酸1.04，缬氨酸0.96，色氨酸1.10。该谷物的氨基酸分是

下列关于管理职能含义的描述中，正确的是()。

某企业1月14日签发了一张3个月的商业汇票，汇票的到期日应为(　　)。

经()批准，可以查询案件涉案人员的储蓄存款。

【2017广东一类NO．1】中央政令下达后，除了加大督查力度，更需要强化政策信息，通过各种渠道让政策为民众所熟知，利用舆论和公众的监督，提高政策执行的。填入画横线部分最恰当的一项是：

BillandFredwerestudentsandtheywerefriends.Theydidn’thavemuchmoney,sowhenitwastimefortheirsummerholidays,B

Howcanyoufightyourcancerifyoucannotlookit______theface.

设二次型，其中二次型的矩阵A的特征值的和为l，特征值的乘积为－12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

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设函数，证明：存在常数A，B，使得当x→0+时，恒有f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求常数A，B．

利用代换u=ycosx将微分方程y″cosx－2y′sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解．

设矩阵A＝可逆，向量α＝是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴随矩阵，求a，b的值．

设f(x)在[一2，2]上有连续的导数，且f(0)＝0，F(x)＝f(x＋t)dt，证明级数绝对收敛．

设A是3阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是矩阵A的三个不同的特征值，α1，α2，α3是相应的单位特征向量，证明A＝λ1α1α1T＋λ2α2α2T＋λ3α3α3T．

计算曲面积分(z2+x)dydz—zdxdy，其中∑是旋转抛物面z=(x2+y2)介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧。

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3．(1)求A的特征值．(2)判断A是否相似于对角矩阵?

设α1，α2，…，αm均为n维实列向量，令矩阵证明：A为正定矩阵的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αm线性无关．

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,=a，其中D={(x，y)丨0≤x≤1，0≤yY≤1}，计算二重积分

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e-t，y=2t+e-2t(t≥0)．证明y=y(x)在[1，+∞)单调上升且是凸的．

关于复代理，下列选项错误的是()

Thetwinbrothersareverymuch______inappearance.

一谷物的赖氨酸评分为0.42，苏氨酸0.70，蛋氨酸1.04，缬氨酸0.96，色氨酸1.10。该谷物的氨基酸分是

下列关于管理职能含义的描述中，正确的是()。

某企业1月14日签发了一张3个月的商业汇票，汇票的到期日应为( )。

经()批准，可以查询案件涉案人员的储蓄存款。

【2017广东一类NO．1】中央政令下达后，除了加大督查力度，更需要强化政策信息__________，通过各种渠道让政策为民众所熟知，利用舆论和公众的监督，提高政策执行的__________。填入画横线部分最恰当的一项是：

BillandFredwerestudentsandtheywerefriends.Theydidn’thavemuchmoney,sowhenitwastimefortheirsummerholidays,B

Howcanyoufightyourcancerifyoucannotlookit______theface.

设矩阵A＝可逆，向量α＝是矩阵A的特征向量，其中A是A的伴随矩阵，求a，b的值．

某企业1月14日签发了一张3个月的商业汇票，汇票的到期日应为(　　)。

【2017广东一类NO．1】中央政令下达后，除了加大督查力度，更需要强化政策信息，通过各种渠道让政策为民众所熟知，利用舆论和公众的监督，提高政策执行的。填入画横线部分最恰当的一项是：