2. 考研
  3. 设λ1，λ2，…，λn是n阶方阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；

设λ1，λ2，…，λn是n阶方阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；

admin2021-07-27  35
问题 设λ1，λ2，…，λn是n阶方阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；
选项
答案用数学归纳法． ①由特征向量α1≠0，故α1线性无关； ②设前k=1个特征向量α1，α2，…，αk-1线性无关，以下证明α1，α2，…，αk线性无关．k个互异特征值λ1，λ2，…，λk对应特征向量α1，α2，…，αk．设存在一组数l1，l2，…，lk，使得l1α1+l2α2+…+lkαk=0，(*)在(*)式两端左乘A，有l1Aα1+l2Aα2+…+lkAαk=0，即l1λ1α1+l2λ2α2+…+lkλkαk=0，(**)又在(*)式两端同乘λk有l1λkα1+l2λkα2+…+lkλkαk=0，(***)用(**)式减去(***)式，得l1(λ1-λk)α1+l2(λ2-λk)α2+…+lk-1(lk-1-lk)αk-1=0．由归纳假设α1，α2，…，αk-1线性无关，故l1(λ1-λk)+l2(λ2-λk)+…+lk-1(lk-1-lk)=0，又λi-λk≠0(i=1，2，…，k-1)，故l1=l2=…=λk-1=0．代回(*)式，于是lkαk=0，由αk≠0，有lk=0，于是α1，α2，…，αk线性无关．所以n个互异特征值对应特征向量α1，α2，…，αn线性无关．
解析
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考研数学二

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