设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f’(x)|≤|f(x)|．证明：f(x)一=0，x∈[x，1]．

admin2016-10-24 16

问题设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f’(x)|≤

|f(x)|．证明：f(x)一=0，x∈[x，1]．

选项

答案因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而|f(x)|在[0，1]上连续，故|f(x)|在[0，1]上取到最大值M，即存在x₀∈[0，1]，使得|f(x₀)|=M．当x₀=0时，则M=0，所以f(x)=0，x∈[0，1]；当x₀≠0时，M=|f(x₀)|=|f(x₀)一f(0)|=|f’(ξ)|x₀≤|f’(ξ)|≤[*]|f(ξ)|≤[*]，其中ξ∈(0，x₀)，故M=0，于是f(x)=0，x∈[0，1]．

解析

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