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  3. 设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为________，行列式｜2E-3A｜=_______。

设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为________，行列式｜2E-3A｜=_______。

admin2018-01-26  13
问题 设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为________，行列式｜2E-3A｜=_______。
选项
答案λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0；(-1)r2n-r
解析 设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是属于λ的特征向量，即Aα=λα。
    在等式A2=A两边右乘α，得A2α=Aα，也就是λ2α=λα，即(λ2-λ)α=0。因α≠0，故有λ2
-λ=0，可得A的特征值λ=0或1。
    又已知A为实对称矩阵，则必可相似对角化，而A的秩R(A)=r，因此A的特征值为
    λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0，
进而可知矩阵2E-3A的特征值为
    μ1=…=μr=2-3×1=-1，μr+1=…=μn=2-3×0=2，
故    ｜2E-3A｜=(-1)r2n-r。
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考研数学一

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