2. 考研
  3. 设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证；f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．

设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证；f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．

admin2018-06-14  109
问题 设f(x)在x=a处n阶可导(n≥2)，且当x→a时f(x)是x一a的n阶无穷小量．求证；f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．
选项
答案由题设f(x)在x=a处n阶可导且[*]=A≠0知，把f(x)在x=a的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式代入即得 [*] 从而 f(a)=f’(a)=f"(a)=…=f(n—1)(a)=0，f(n)(a)=n!A≠0． 设g(x)=f’(x)，由题设知g(x)在x=a处n一1阶可导，且 g(a)=f’(a)=0，g’(a)=f"(a)=0，…，g(n—2)(a)=f(n—1)(a)=0， g(n—1)(a)=f(n)(a)=n!A≠0． 由此可得f’(x)=g(x)在x=a处带皮亚诺余项的n一1阶泰勒公式为 f’(x)=g(x)=g(a)+g’(a)(x一a)+…+[*](x一a)n—2 +[*](x—a)n—1+ο(x一a)n—1 =[*](x一a)n—1+ο((x一a)n—1=nA(x一a)n—1+ο((x一a)n—1)， 故f’(x)当x→a时是x一a的n一1阶无穷小量．
解析
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考研数学三

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