计算x2ydx＋(x2＋y2)dy＋(x＋y＋z)dz，其中L为 x2＋y2＋z2＝11， z＝x2＋y2＋1 的交线，从z轴正向往负向看，L是逆时针的。

admin2020-04-22 3

问题计算

x²ydx＋(x²＋y²)dy＋(x＋y＋z)dz，其中L为
x²＋y²＋z²＝11， z＝x²＋y²＋1
的交线，从z轴正向往负向看，L是逆时针的。

选项

答案解一用参数法计算，为此先求出曲线L在xOy上的投影曲线的方程。由 x²＋y²＋1＋z²＝12， z²＋z－12＝(z＋4)(z－3)＝0，因z>0，故z＝3，因而 x²＋y²＋1＝3，即 x²＋y²＝2。用参数方程表示为[*]，故L的参数式方程为 [*] 解二用斯托克斯公式求之，取曲面S为L所在的平面，其方程为 z＝3， x²＋y²≤2，向上，于是 ∮_Lx²ydx＋(x²＋y²)dy＋(x＋y＋z)dz [*] 因曲面S关于yOz平面、zOx平面对称，且被积函数1为偶函数，故 [*]

解析

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考研数学一

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计算x2ydx＋(x2＋y2)dy＋(x＋y＋z)dz，其中L为 x2＋y2＋z2＝11， z＝x2＋y2＋1 的交线，从z轴正向往负向看，L是逆时针的。

考研数学一

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